Средневзвешенная продолжительность платежей (дюрация)

Одним из фундаментальных понятий инвестиционного анализа является  средневзвешенная продолжительность потока платежей, или дюрация.  Понятие «дюрация» было впервые введено американским ученым Ф. Маколи (F.R. Macaulay) и играет важнейшую роль в анализе долгосрочных ценных бумаг с фиксированным доходом. Предположим, что купонный платеж осуществляется раз в год. Тогда дюрацию D можно определить из следующего соотношения:

где CF_t — величина платежа по купону в периоде t;

F — сумма погашения (как правило — номинал);

n — срок погашения,

r — процентная ставка (норма дисконта), равная доходности к погашению (r = YTM).

Рассмотрим соотношение более подробно. Нетрудно заметить, что знаменатель представляет собой формулу для расчета текущей стоимости облигации с фиксированным купоном , т.е. — величину PV. Преобразуем соотношение  с учетом вышесказанного и величины нормы дисконта r = YTM.

Из полученного следует, что дюрация является средневзвешенной из периодов поступлений по облигации. Используемые при этом веса представляют собой долю каждого дисконтированного платежа в современной стоимости всего потока — PV.

Рассмотрим следующий пример: облигация с номиналом в 1000 и ставкой купона 7%, выплачиваемого раз в год, имеет срок обращения 3 года. Необходимо определить дюрацию данного обязательства. Расчет дюрации для этого примера приведен в табл. 1.

Таблица 1. Расчет дюрации.

Таким образом, средняя продолжительность платежей по 3-х летней купонной облигации приблизительно равна 2,8 года. Дюрация 20-летней облигации с купоном 8% годовых будет равна всего 11 годам, т.е. почти в 2 раза меньше срока погашения! Нетрудно заметить, что дюрация зависит от трех факторов — ставки купона k, срока погашения n и доходности YTM. Эта зависимость для 20-летней облигации при различных ставках k и YTM показана на рис.1.

Графическая иллюстрация взаимосвязи дюрации с показателями n, k и YTM позволяет сделать ряд важных выводов:

·                  дюрация облигации с нулевым купоном всегда равна сроку ее погашения, т.е.: при k = 0, D = n;

·                   
дюрация купонной облигации всегда меньше срока погашения:при k > 0, D < n;

·                   
с ростом доходности (процентной ставки на рынке) дюрация купонной облигации уменьшается и обратно.

Показатель дюрации, или средней продолжительности, более корректно учитывает особенности временной структуры потока платежей. Как следует из последней формулы, отдаленные платежи имеют меньший вес, и, следовательно, оказывают меньшее влияние на результат, чем более близкие к моменту оценки.

Дюрацию часто интерпретируют как средний срок обязательства, с учетом его текущей (современной) величины, или другими словами, как точку равновесия сроков дисконтированных платежей. В частности, дюрацию купонной облигации можно трактовать как срок эквивалентного обязательства без текущих выплат процентов (например, облигации с нулевым купоном).

Важное теоретическое и прикладное значение в анализе играет предельная величина дюрации (limiting value of duration) — LVD, вычисляемая по формуле:

Отметим следующие свойства этого показателя:

— средняя продолжительность платежей по бессрочным облигациям равна величине LVD, независимо от величины ставки купона;

— дюрация купонной облигации, приобретенной по номиналу или с премией, монотонно возрастает вместе с увеличением срока погашения и приближается к своему предельному значению — LVD, по мере приближения срока погашения к бесконечности, т.е. при n, стремящейся к бесконечности , D
стремится к LVD;

— дюрация купонной облигации, приобретенной с дисконтом, достигает своего максимума прежде, чем срок погашения приблизится к бесконечности и затем снижается по направлению к величине LVD.

Однако главная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризует чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке (доходности к погашению). Таким образом, используя дюрацию, можно управлять риском, связанным с изменением процентных ставок.

В общем случае, процентный риск облигации может быть измерен показателем эластичности ее цены P по отношению к рыночной ставке r. Пусть r = YTM, тогда эластичность EL можно определить по формуле:

Поскольку между ценой облигации и ее доходностью к погашению существует обратная зависимость, величина EL будет всегда отрицательной. Из последней  формулы  следует, что:

Если r = YTM, то применив дифференцирование можно показать, что:

Откуда следует, что EL = D, т.о. дюрация характеризует эластичность цены облигации к изменениям ее доходности.

Преобразуем правую часть последней формулы следующим образом:

Величина, заключенная в квадратные скобки, получила название модифицированной дюрации (modified duration — MD):

Эту формулу  часто используют для определения приблизительного изменения цены облигации исходя из предполагаемого изменения доходности к погашению. Рассмотрим это на предыдущем примере: предположим, что облигация была куплена по номиналу. При этом инвестор ожидает рост рыночной процентной ставки на 1%. Определить ожидаемое изменение цены облигации.

Величина средней продолжительности платежей D для этой облигации была найдена при решении примера и составила приблизительно 2.8. Определим ожидаемое процентное изменение YTM:

D YTM = 0,01 / (1 + 0,07) = 0,0093.

Найдем величину MD:

MD = 2,8 / 0,0093 = 2,62.

Предполагаемое процентное изменение цены облигации составит:

D Р = — (0,01 *2,62) = -0,0262 = -2,6%.

Таким образом, курс облигации К должен понизиться на 2,6%.

Поскольку облигация была куплена по номиналу, новый курс должен быть приблизительно равен: 100 — 2,6 = 97,4%.

Осуществим проверку нашего предположения (т.е. определим курс облигации, при условии, что YTM = 8%):

Показателю дюрации присущи некоторые недостатки: первое ограничение вытекает из нелинейной формы связи между YTM и Р. Поскольку скорость изменения показателей при этом будет разной, применение показателей D или MD для прогнозирования цен облигаций в случае значительных колебаний процентных ставок будет приводить к преувеличению падения курса при росте YTM и занижению реального роста курса при уменьшении YTM.

Другим существенным недостатком дюрации как меры измерения процентного риска является неявное допущение о независимости доходности от срока погашения. Таким образом, предполагается, что краткосрочные процентные ставки изменяются также, как и долгосрочные. Например, если доходность по 3-х месячным ГКО изменилась на 1%, то и доходность 15-летних ОВВЗ также должна измениться на 1%. Нереалистичность подобного допущения очевидна.

Несмотря на отмеченные недостатки, показатель средней продолжительности платежей (дюрация) широко используется в теоретическом и прикладном анализе. Проведенные исследования свойств количественных характеристик облигаций являются теоретической базой для разработки моделей управления портфелями ценных бумаг с фиксированным доходом.